傅里叶变换

图像处理中, 为了方便处理,便于抽取特征,数据压缩等目的,常常要将图像进行变换。
一般有如下变换方法

  1. 傅立叶变换Fourier Transform
  2. 离散余弦变换Discrete Cosine Transform
  3. 沃尔希-哈德玛变换Walsh-Hadamard Transform
  4. 斜变换Slant Transform
  5. 哈尔变换Haar Transform
  6. 离散K-L变换Discrete Karhunen-Leave Transform
  7. 奇异值分解SVD变换Singular-Value Decomposition
  8. 离散小波变换Discrete Wavelet Transform

这篇文章介绍一下傅里叶变换

定义

连续

积分形式
如果一个函数的绝对值的积分存在,即

并且函数是连续的或者只有有限个不连续点,则对于 x 的任何值, 函数的傅里叶变换存在

  • 一维傅里叶变换
  • 一维傅里叶逆变换同理多重积分

    离散

    实际应用中,多用离散傅里叶变换 DFT.
  • 一维傅里叶变换
  • 一维傅里叶逆变换需要注意的是, 逆变换乘以 $\frac{1}{N}$ 是为了归一化,这个系数可以随意改变, 即可以正变换乘以 $\frac{1}{N}$, 逆变换就不乘,或者两者都乘以$\frac{1}{\sqrt{N}}$等系数。
  • 二维傅里叶变换
  • 二维傅里叶逆变换

幅度

相位

对于图像的幅度谱显示,由于 |F(u,v)| 变换范围太大,一般显示 $D= log(|F(u,v)+1)$

<=> 表示傅里叶变换对

f,g,h 对应的傅里叶变换 F,G,H

$F^*$ 表示 $F$ 的共轭

性质

分离性

进行多维变换时,可以依次对每一维进行变换。 下面在代码中就是这样实现的。

位移定理

周期性

共轭对称性

a)偶分量函数在变换中产生偶分量函数;
b)奇分量函数在变换中产生奇分量函数;
c)奇分量函数在变换中引入系数-j;
d)偶分量函数在变换中不引入系数.

旋转性

if $$
f(r,\theta)<=>F(\omega,\phi)

加法定理

1.

2.

平均值

相似性定理

尺度变换

卷积定理

卷积定义
1d

2d

卷积定理

离散卷积

即两个周期为 N 的抽样函数, 他们的卷积的离散傅里叶变换等于他们的离散傅里叶变换的卷积

卷积的应用:
去除噪声, 特征增强
两个不同周期的信号卷积需要周期扩展的原因:如果直接进行傅里叶变换和乘积,会产生折叠误差(卷绕)。

相关定理

下面用$ \infty$ 表示相关。
相关函数描述了两个信号之间的相似性,其相关性大小有相关系数衡量

  • 相关函数的定义
    离散连续
  • 定理

    Rayleigh 定理

    能量变换
    对于有限区间非零函数 f(t), 其能量为

其变换函数与原函数有相同的能量

快速傅里叶变换

由上面离散傅里叶变换的性质易知,直接计算 1维 dft 的时间复杂度维 $O(N^2)$。

利用到单位根的对称性,快速傅里叶变换可以达到 $O(nlogn)$的时间复杂度。

复数中的单位根

我们知道, 在复平面,复数 $cos\theta +i\ sin\theta$k可以表示成 $e^{i\theta}$, 可以对应一个向量。$\theta$即为幅角。
单位圆中 ,单位圆被分成 $\frac{2\pi}{\theta}$ 份, 由单位圆的对称性

现在记 $ n =\frac{ 2\pi }{\theta}$ , 即被分成 n 份,幅度角为正且最小的向量称为 n 次单位向量, 记为$\omega _n$,
其余的 n-1 个向量分别为 $\omega_{n}^{2},\omega_{n}^{3},\ldots,\omega_{n}^{n}$ ,它们可以由复数之间的乘法得来 $w_{n}^{k}=w_{n}^{k-1}\cdot w_{n}^{1}\ (2 \leq k \leq n) $。
单位根的性质

  1. 这个可以用 e 表示出来证明
  2. 可以写成三角函数证明

容易看出 $w_{n}^{n}=w_{n}^{0}=1 $。

对于$ w_{n}^{k}$ , 它事实上就是 $e^{\frac{2\pi i}{n}k}$ 。

快速傅里叶变换的计算

下面的推导假设 $n=2^k$,以及代码实现 FFT 部分也是 如此。

利用上面的对称性,
将傅里叶计算进行奇偶分组

$F_{even}$表示将 输入的次序中偶数点进行 Fourier 变换, $F_{odd}$ 同理,这样就形成递推公式。
现在还没有减少计算量,下面通过将分别计算的 奇项,偶项利用起来,只计算 前 $\frac{n}{2}-1$项,后面的一半可以利用此结果马上算出来。每一次可以减少一半的计算量。

对于 $\frac{n}{2}\leq i+\frac{n}{2}\leq n-1$

现在很清楚了,在每次计算 a[0..n-1] 的傅里叶变换F[0..n-1],分别计算出奇 odd[0..n/2-1],偶even[0..n/2-1](可以递归地进行),
那么傅里叶变换为:

代码

下面是 python 实现
一维用 FFT 实现, 不过 只实现了 2 的幂。/ 对于非 2 的幂,用 FFT 实现有点困难,还需要插值,所以我 用$O(n^2)$ 直接实现。

二维的 DFT利用 分离性,直接调用 一维 FFT。
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import numpy as np


def _fft(a, invert=False):
N = len(a)
if N == 1:
return [a[0]]
elif N & (N - 1) == 0: # O(nlogn), 2^k
even = _fft(a[::2], invert)
odd = _fft(a[1::2], invert)
i = 2j if invert else -2j
factor = np.exp(i * np.pi * np.arange(N // 2) / N)
prod = factor * odd
return np.concatenate([even + prod, even - prod])
else: # O(n^2)
w = np.arange(N)
i = 2j if invert else -2j
m = w.reshape((N, 1)) * w
W = np.exp(m * i * np.pi / N)
return np.concatenate(np.dot(W, a.reshape(
(N, 1)))) # important, cannot use *


def fft(a):
'''fourier[a]'''
n = len(a)
if n == 0:
raise Exception("[Error]: Invalid length: 0")
return _fft(a)


def ifft(a):
'''invert fourier[a]'''
n = len(a)
if n == 0:
raise Exception("[Error]: Invalid length: 0")
return _fft(a, True) / n


def fft2(arr):
return np.apply_along_axis(fft, 0,
np.apply_along_axis(fft, 1, np.asarray(arr)))


def ifft2(arr):
return np.apply_along_axis(ifft, 0,
np.apply_along_axis(ifft, 1, np.asarray(arr)))


def test(n=128):
print('\nsequence length:', n)
print('fft')
li = np.random.random(n)
print(np.allclose(fft(li), np.fft.fft(li)))

print('ifft')
li = np.random.random(n)
print(np.allclose(ifft(li), np.fft.ifft(li)))

print('fft2')
li = np.random.random(n * n).reshape((n, n))
print(np.allclose(fft2(li), np.fft.fft2(li)))

print('ifft2')
li = np.random.random(n * n).reshape((n, n))
print(np.allclose(ifft2(li), np.fft.ifft2(li)))


if __name__ == '__main__':
for i in range(1, 3):
test(i * 16)

参考

文章目录
  1. 1. 定义
    1. 1.1. 连续
    2. 1.2. 离散
  2. 2. 性质
    1. 2.1. 分离性
    2. 2.2. 位移定理
    3. 2.3. 周期性
    4. 2.4. 共轭对称性
    5. 2.5. 旋转性
    6. 2.6. 加法定理
    7. 2.7. 平均值
    8. 2.8. 相似性定理
    9. 2.9. 卷积定理
    10. 2.10. 相关定理
    11. 2.11. Rayleigh 定理
  3. 3. 快速傅里叶变换
    1. 3.1. 复数中的单位根
    2. 3.2. 快速傅里叶变换的计算
  4. 4. 代码
  5. 5. 参考
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