傅里叶变换

• 定义
  • 连续
  • 离散
• 性质
  • 分离性
  • 位移定理
  • 周期性
  • 共轭对称性
  • 旋转性
  • 加法定理
  • 平均值
  • 相似性定理
  • 卷积定理
  • 相关定理
  • Rayleigh 定理
• 快速傅里叶变换
  • 复数中的单位根
  • 快速傅里叶变换的计算
• 代码
• 参考

图像处理中, 为了方便处理，便于抽取特征，数据压缩等目的，常常要将图像进行变换。
一般有如下变换方法

1. 傅立叶变换Fourier Transform
2. 离散余弦变换Discrete Cosine Transform
3. 沃尔希-哈德玛变换Walsh-Hadamard Transform
4. 斜变换Slant Transform
5. 哈尔变换Haar Transform
6. 离散K-L变换Discrete Karhunen-Leave Transform
7. 奇异值分解SVD变换Singular-Value Decomposition
8. 离散小波变换Discrete Wavelet Transform

这篇文章介绍一下傅里叶变换

定义

连续

积分形式
如果一个函数的绝对值的积分存在，即

$$\int_{-\infty} ^\infty |h(t)|dt<\infty$$

并且函数是连续的或者只有有限个不连续点，则对于 x 的任何值， 函数的傅里叶变换存在

• 一维傅里叶变换 $$H(f)=\int_{-\infty} ^\infty h(t)e^{-j2\pi ft}dt$$
• 一维傅里叶逆变换 $$H(f)=\int_{-\infty} ^\infty h(t)e^{j2\pi ft}dt$$ 同理多重积分

  离散

  实际应用中，多用离散傅里叶变换 DFT.
• 一维傅里叶变换 $$F(u)=\sum_{x=0} ^{N-1} f(x)e^{\frac{-2\pi j}{N} ux}$$
• 一维傅里叶逆变换 $$f(x)=\frac{1}{N}\sum_{u=0} ^{N-1} F(u)e^{\frac{2\pi j}{N} ux}$$ 需要注意的是， 逆变换乘以 $\frac{1}{N}$ 是为了归一化，这个系数可以随意改变， 即可以正变换乘以 $\frac{1}{N}$, 逆变换就不乘，或者两者都乘以$\frac{1}{\sqrt{N}}$等系数。
• 二维傅里叶变换 $$F(u,v)=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0} ^{N-1} f(x,y)e^{\frac{-2\pi j}{N} (ux+vy)}$$
• 二维傅里叶逆变换

$$f(x,y)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}\sum_{v=0} ^{N-1} F(u,v)e^{\frac{2\pi j}{N} (ux+vy)}$$

幅度

$$|F(u,v)| = \sqrt{real(F)^2+imag(F)^2}$$

相位

$$arctan{\frac{imag(F)}{real(F)}}$$

对于图像的幅度谱显示，由于 |F(u,v)| 变换范围太大，一般显示 $D= log(|F(u,v)+1)$

用 <=> 表示傅里叶变换对

$$f(x)<=>F(u)\\ f(x,y)<=>F(u,v)$$

f,g,h 对应的傅里叶变换 F,G,H

$F^*$ 表示 $F$ 的共轭

性质

分离性

$$\begin{aligned} &F(x,v)=\sum_{y=0} ^{N-1} f(x,y)e^{\frac{-2\pi j}{N} vy}\\ &F(u,v)=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}F(x,v)e^{\frac{-2\pi j}{N}ux} \end{aligned}$$

进行多维变换时，可以依次对每一维进行变换。 下面在代码中就是这样实现的。

位移定理

$$f(x,y)e^{\frac{2\pi j}{N}(u_0x+v_0y)} <=>F(u-u_0,v-v_0)$$ $$f(x-x_0,y-y_0)<=>F(u,v)e^{\frac{-2\pi j}{N}(ux_0+vy_0)}$$

周期性

$$F(u,v) = F(u+N,v+N)$$

共轭对称性

$$F(u,v) = F^*(-u,-v)$$

a)偶分量函数在变换中产生偶分量函数;
b)奇分量函数在变换中产生奇分量函数;
c)奇分量函数在变换中引入系数-j;
d)偶分量函数在变换中不引入系数.

旋转性

若有

$$f(r,\theta)<=>F(\omega,\phi)$$

则

$$f(r,\theta+t)<=>F(\omega,\phi+t)$$

加法定理

1.

$$Fourier[f+g]=Fourier[f]+Fourier[g]$$

2.

$$af(x,y)<=>aF[u,v]$$

平均值

$$\frac{1}{N^2}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0} ^{N-1} f(x,y) = \frac{1}{N}F(0,0)$$

相似性定理

尺度变换

$$f(ax,by)<=>\frac{F(\frac{u}{a},\frac{v}{b})}{ab}$$

卷积定理

卷积定义
1d

$$f*g = \frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1}f(m)g(x-m)$$

2d

$$f(x,y)*g(x,y) = \frac{1}{MN}\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)g(x-m,y-n)$$

卷积定理

$$f(x,y)*g(x,y) <=> F(u,v)G(u,v)$$ $$f(x,y)g(x,y)<=>F(u,v)*G(u,v)$$

离散卷积
用

$$\sum_{i=0}^{N-1}x(iT)h[(k-i)T] <=> X(\frac{n}{NT})H(\frac{n}{NT})$$

即两个周期为 N 的抽样函数， 他们的卷积的离散傅里叶变换等于他们的离散傅里叶变换的卷积

卷积的应用：
去除噪声， 特征增强
两个不同周期的信号卷积需要周期扩展的原因：如果直接进行傅里叶变换和乘积，会产生折叠误差(卷绕)。

相关定理

下面用$ \infty$ 表示相关。
相关函数描述了两个信号之间的相似性，其相关性大小有相关系数衡量

• 相关函数的定义
  离散 $$f(x,y)\quad \infty \quad g(x,y) = \frac{1}{MN}\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f^*(m,n)g(x+m,y+n)$$ 连续 $$z(t) = \int_{-\infty}^{\infty}x^*(\tau) h(t+\tau)d\tau$$
• 定理 $$f(x,y)\quad \infty \quad g(x,y)<=>F^*(u,v)G(u,v)$$

  Rayleigh 定理

  能量变换
  对于有限区间非零函数 f(t), 其能量为 $$E = \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt$$

其变换函数与原函数有相同的能量

$$\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt = \int_{-\infty}^{\infty}|F(u)|^2dt$$

快速傅里叶变换

由上面离散傅里叶变换的性质易知，直接计算 1维 dft 的时间复杂度维 $O(N^2)$。

利用到单位根的对称性，快速傅里叶变换可以达到 $O(nlogn)$的时间复杂度。

复数中的单位根

我们知道， 在复平面，复数 $cos\theta +i\ sin\theta$k可以表示成 $e^{i\theta}$， 可以对应一个向量。$\theta$即为幅角。
在单位圆中 ，单位圆被分成 $\frac{2\pi}{\theta}$ 份， 由单位圆的对称性

$$e^{i\theta} = e^{i(\theta+2\pi)}$$

现在记 $ n =\frac{ 2\pi }{\theta}$ ， 即被分成 n 份，幅度角为正且最小的向量称为 n 次单位向量， 记为$\omega _n$，
其余的 n-1 个向量分别为 $\omega_{n}^{2},\omega_{n}^{3},\ldots,\omega_{n}^{n}$ ，它们可以由复数之间的乘法得来 $w_{n}^{k}=w_{n}^{k-1}\cdot w_{n}^{1}\ (2 \leq k \leq n) $。
单位根的性质

1. 这个可以用 e 表示出来证明 $$\omega_{2n}^{2k}=\omega_{n}^{k}$$
2. 可以写成三角函数证明 $$\omega_{n}^{k+\frac{n}{2}}=-\omega_{n}^{k}$$

容易看出 $w_{n}^{n}=w_{n}^{0}=1 $。

对于$ w_{n}^{k}$ , 它事实上就是 $e^{\frac{2\pi i}{n}k}$ 。

快速傅里叶变换的计算

下面的推导假设 $n=2^k$，以及代码实现 FFT 部分也是 如此。

利用上面的对称性，
将傅里叶计算进行奇偶分组

$$\begin{aligned} F(u)&=\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n ^{iu} a^i\\ &= \sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_n ^{2iu} a^{2i}+\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_n ^{(2i+1)u} a^{2i+1}\\ &=\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_{\frac{n}{2}} ^{iu} a^{2i}+\omega_n^u\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_{\frac{n}{2}} ^{iu} a^{2i+1}\\ & = F_{even}(u)+\omega_n^u F_{odd}(u) \end{aligned}$$

$F_{even}$表示将 输入的次序中偶数点进行 Fourier 变换， $F_{odd}$ 同理，这样就形成递推公式。
现在还没有减少计算量，下面通过将分别计算的 奇项，偶项利用起来，只计算 前 $\frac{n}{2}-1$项，后面的一半可以利用此结果马上算出来。每一次可以减少一半的计算量。

对于 $\frac{n}{2}\leq i+\frac{n}{2}\leq n-1$

$$\begin{aligned} F(\omega_{n}^{i+\frac{n}{2}})&=F_{even}(\omega_{n}^{2i+n})+\omega_{n}^{i+\frac{n}{2}}\cdot F_{odd}(\omega_{n}^{2i+n})\\ &=F_{even}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i+\frac{n}{2}})+\omega_{\frac{n}{2}}^{i+\frac{n}{2}}\cdot F_{odd}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i+\frac{n}{2}})\\ & =F_{even}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i})-\omega_{\frac{n}{2}}^{i}\cdot F_{odd}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i}) \end{aligned}$$

现在很清楚了，在每次计算 a[0..n-1] 的傅里叶变换F[0..n-1]，分别计算出奇 odd[0..n/2-1]，偶even[0..n/2-1]（可以递归地进行），
那么傅里叶变换为：

$$F[i] = \begin{cases} even[i]+ \omega^i \cdot odd[i], \quad i<\frac{n}{2}\\ even[i]- \omega^i \cdot odd[i], \quad else \end{cases}$$

代码

下面是 python 实现
一维用 FFT 实现， 不过 只实现了 2 的幂。/ 对于非 2 的幂，用 FFT 实现有点困难，还需要插值，所以我 用$O(n^2)$ 直接实现。

二维的 DFT利用 分离性，直接调用 一维 FFT。
GitHub

import numpy as np


def _fft(a, invert=False):
    N = len(a)
    if N == 1:
        return [a[0]]
    elif N & (N - 1) == 0:  # O(nlogn),  2^k
        even = _fft(a[::2], invert)
        odd = _fft(a[1::2], invert)
        i = 2j if invert else -2j
        factor = np.exp(i * np.pi * np.arange(N // 2) / N)
        prod = factor * odd
        return np.concatenate([even + prod, even - prod])
    else:  # O(n^2)
        w = np.arange(N)
        i = 2j if invert else -2j
        m = w.reshape((N, 1)) * w
        W = np.exp(m * i * np.pi / N)
        return np.concatenate(np.dot(W, a.reshape(
            (N, 1))))  # important, cannot use *


def fft(a):
    '''fourier[a]'''
    n = len(a)
    if n == 0:
        raise Exception("[Error]: Invalid length: 0")
    return _fft(a)


def ifft(a):
    '''invert fourier[a]'''
    n = len(a)
    if n == 0:
        raise Exception("[Error]: Invalid length: 0")
    return _fft(a, True) / n


def fft2(arr):
    return np.apply_along_axis(fft, 0,
                               np.apply_along_axis(fft, 1, np.asarray(arr)))


def ifft2(arr):
    return np.apply_along_axis(ifft, 0,
                               np.apply_along_axis(ifft, 1, np.asarray(arr)))


def test(n=128):
    print('\nsequence length:', n)
    print('fft')
    li = np.random.random(n)
    print(np.allclose(fft(li), np.fft.fft(li)))

    print('ifft')
    li = np.random.random(n)
    print(np.allclose(ifft(li), np.fft.ifft(li)))

    print('fft2')
    li = np.random.random(n * n).reshape((n, n))
    print(np.allclose(fft2(li), np.fft.fft2(li)))

    print('ifft2')
    li = np.random.random(n * n).reshape((n, n))
    print(np.allclose(ifft2(li), np.fft.ifft2(li)))


if __name__ == '__main__':
    for i in range(1, 3):
        test(i * 16)

参考

• 万寿红老师课件
• 一小时学会快速傅里叶变换 Fast Fourier Transform
• 快速傅里叶变换（FFT）算法【详解】